Formula di De Moivre

La formula di De Moivre è un importante contributo alla matematica in quanto collega i numeri complessi alla trigonometria:

( cos x + i sin x )ⁿ = cos nx + i sin nx

per ogni numero reale x e numero intero n, dove i sta per il numero immaginario unitario.

L'espressione "cos x + i sin x" viene a volte abbreviata con "cis x".

Espandendo il lato sinistro e confrontando la parte reale con la parte immaginaria, è possibile derivare espressioni utili per cos(nx) e sin(nx) in termini di sin(x) e cos(x).

Inoltre si può usare la formula per trovare le espressioni esplicite per la n-esima radice dell'unità immaginaria z come ad esempio zⁿ = 1.

Abraham de Moivre era un buon amico di Newton. Nel 1698 scrisse che la formula era nota a Newton perlomeno già nel 1676. Può essere derivata (ma la precede storicamente) dalla formula di Eulero

e^ix = cos x + i sin x

e la legge esponenziale

(e^ix)ⁿ = e^inx

La formula di De Moivre oggi viene generalizzata

Se z e w sono numeri complessi, allora

(cos z + i sin z)^w

è una multivalued function, mentre

cos (wz) + i sin (wz)

non lo è, e si può affermare che

cos (wz) + i sin (wz) è un valore di (cos z + i sin z)^w

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Vedi anche:

• Abraham de Moivre, Isaac Newton, Eulero
• matematica, numeri complessi, trigonometria

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