Funzione gaussiana

Una funzione gaussiana � una funzione della seguente forma:

per qualche costante reale a > 0, b e c. Il nome di queste funzioni ricorda il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss.

Le funzioni gaussiane con c² = 2 sono autofunzioni della trasformata di Fourier.

Le funzioni gaussiane si collocano tra le funzioni speciali "elementari" e possono essere introdotte nei primi corsi di calculus; esse mancano però di "integrali elementari", cio�, i loro integrali non si sanno individuare con espressioni ottenute con composizioni semplici (mediante operazioni razionali e radicali) di funzioni elementari. Tuttavia i loro integrali definiti su tutta la retta reale possono essere valutati esattamente:

Il precedente risultato si può ottenere mediante il teorema del residuo dell'analisi complessa, ma può calcolarsi anche con un procedimento semplice e istruttivo. Chiamiamo il valore di questo integrale I. Allora,

Si noti che si sono usati due simboli diversi, x e y, per le due variabili di integrazione, in quanto ciascuna di esse ha il ruolo di (variabile dummy). Passiamo ora alle coordinate polari del piano

(È stata usata la sostituzione u := r², du = 2r dr )

Applicazioni

Le funzioni gaussiane si incontrano in numerosi capitoli della matematica, della fisica e delle altre discipline quantitative; vediamo alcuni esempi.

L'integrale della funzione gaussiana � la funzione degli errori.

In statistica e in teoria della probabilità, le funzioni gaussiane si presentano come funzioni di densità della distribuzione normale, che � la distribuzione di probabilità limite di somme sufficientemente complicate di funzioni di distribuzione, in accordo con il teorema del limite centrale. La distribuzione normale relativa al valore atteso m e alla varianza σ e normalizzata ha la forma

Nello studio delle funzioni speciali la funzione gaussiana gioca il ruolo di funzione peso nella definizione dei polinomi di Hermite come polinomi ortogonali.

Una funzione gaussiana � la funzione d'onda dello stato fondamentale dell'oscillatore armonico quantistico. Di conseguenza, le funzioni gaussiane (e i corrispondenti funzionali) sono anche associati allo stato di vuoto nella teoria quantistica dei campi.

Vedi anche