Quadrato magico
Un quadrato magico č una disposizione di numeri interi distinti in una tabella quadrata in modo che il totale di ogni riga, colonna e diagonale sia sempre lo stesso numero, denominato la costante di magia.
| Table of contents |
|
2 Esempi di costruzione 3 Vedi anche |
Storia
I quadrati magici erano noti già in Cina nei primi secolo dopo Cristo, e forse addirittura nel IV secolo AC. Il quadrato 3x3 era chiamato Lo Shu; nel X secolo i cinesi conoscevano quadrati fino al 10 ordine, oltre a catene di cerchi e cubi magici non perfetti. Giunsero in Europa relativamente tardi, grazie a Manuel Moschopulos (circa 1265 – 1316), tra i primi ad occuparsene. Uno dei primi matematici ad approfondire l’argomento fu Cornelio Agrippa (1486 – 1535), il quale li definì
- "tavole sacre dei pianeti e dotate di grandi virtů, poichĂ© rappresentano la ragione divina, o forma dei numeri celesti”
Frenicle de Bessy, matematico del Seicento, amico di Descartes e di Fermat, calcolò il numero dei quadrati magici perfetti del quarto ordine: 880, con somma costante 34, su righe, colonne e diagonali. Solo grazie al computer si riuscì ad estendere il risultato, nel 1973, agli ordini superiori: i quadrati magici di ordine 5 sono 275 305 224. Non č noto il numero preciso dei quadrati magici di ordine 6, anche se molti sono impegnati nella ricerca. Secondo le alcune indagini, il loro numero č nell'ordine di 17 × 1018. Il problema piů generale resta comunque insoluto: trovare la regola che permetta di determinare il numero di quadrati magici di ordine n. La somma costante su righe, colonne e diagonali č data dalla formula .
Parente stretto del quadrato č il cubo magico, costruito in Europa per la prima volta solo nel 1866. Il primo cubo perfetto, di ordine 7 e quindi contenente i primi 343 numeri fu ottenuto da un missionario appassionato di matematica. In seguito si estese la ricerca a ipercubi di dimensione m ed ordine n, ognuno con numeri.
La costante di magia di questo quadrato č 15. La costante di magia di un simile quadrato può essere computata con questa formula:
I quadrati magici del tipo 1 a n2 possono essere costruiti per tutti i valori possibili di n tranne 2. Non tutti i quadrati magici del tipo 1 a n2 sono costruiti nello stesso senso. Cadono in tre subclassificazioni differenti:
Si compila la colonna seguente del numero uno (a destra) e ad una fila superiore. Se siete giĂ alla fila superiore, si compila una colonna alla destra nella fila inferiore.
E se siete nella colonna di estrema destra, si compila il numero seguente nella colonna di estrema sinistra, una fila in su.
Se il quadrato giĂ č occupato da un numero piů piccolo, si posiziona il numero seguente nel quadrato immediatamente sotto all'ultimo immesso, si procede in tal maniera fino a comporre tutto il quadrato.
Infine, si verifichi che ogni fila, colonna e diagonale diano come somma algebrica lo stesso numero, in questo caso, 65.
Naturalmente i quadrati magici possono essere costruiti usando un sottoinsieme dei numeri compresi tra 1 a n2. Per esempio, un quadrato magico può essere costruito usando soltanto i numeri primi (in alcuni casi potrebbe essere necessario accettare 1 come numero primo per avere un quadrato magico). In questo esempio, la costante di magia č 111:
I quadrati magici possono anche essere costruiti dai reciproci di alcuni numeri primi. Per esempio, 1/7 č circa 0.142857 e possiamo quasi fare un quadrato magico composto da quelle cifre:
Ogni fila e colonna ha come somma 27. Purtroppo, le diagonali non hanno tale valore.Esempi di costruzione
Il tipo piů comune di quadrato magico č quello che usa i numeri da 1 a n2, con il quadrato 3 x 3 che č forse il piů famoso:
Il metodo per costruire un quadrato magico con n dispari č abbastanza semplice e viene spiegato qui di seguito. Si inizia mettendo 1 nella colonna centrale della fila superiore.
? ? 1 ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? 1 ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? 3
? ? ? 2 ?
? ? 1 8 ?
? 5 7 ? ?
4 6 ? ? ?
? ? ? ? 3
? ? ? 2 9
1 4 2 8 5 7
2 8 5 7 1 4
4 2 8 5 7 1
5 7 1 4 2 8
7 1 4 2 8 5
8 5 7 1 4 2
