Matrice compagna

In algebra lineare, la matrice compagna del polinomio monico di grado n

è la matrice quadrata della forma seguente

Occorre osservare che alcuni autori chiamano matrice compagna la trasposta delle precedente.

Sia il polinomio caratteristico che il polinomio minimale della C(p) coincidono con p: questo giustifica la qualifica di compagna.

Se il polinomio p(t) possiede n zeri distinti (sono gli autovalori della C(p)), allora C(p) è diagonalizzabile con la seguente formula

dove V è la matrice di Vandermonde corrispondente agli n autovalori λ₁, ..., λ_n.

Se A è una matrice n × n su un campo K, i seguenti enunciati si dimostrano essere equivalenti:

• A è similare ad una matrice compagna su K.
• Il polinomio caratteristico di A coincide con il suo polinomio minimale.
• In Kⁿ si trova un vettore v tale che {v, Av, A²v,...,A^n-1v} è una base di Kⁿ.

Non tutte le matrici quadrate sono similari ad una matrice compagna, ma ciascuna di tali matrici è similare ad una matrice esprimibile mediante blocchi di matrici compagne. Inoltre queste matrici compagne si possono scegliere in modo che i loro polinomi si dividano l'un l'altro e quindi risultino univocamente determinati da A. Questa similarità porta alla forma canonica razionale della A.

Vedi anche

• Glossario sulle matrici

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