Octonioni

In matematica, gli octonioni sono un estensione non-associative dei quaternioni.

Table of contents

1 Storia 2 Operazioni algebriche 3 Proprietà 4 Vedi anche 5 Link esterni

Storia

Sono stati scoperti da John T. Graves nel 1843, e indipendentemente da Arthur Cayley,che pubblico il primo lavoro su essi nel 1845. Spesso ci si riferisce a essi come hai numeri di Cayley o all'algebra di Cayley.

Operazioni algebriche

Gli octonioni formano una struttura a 8 dimensioni (non-associativa) formata da numeri reali, e si può quindi pensare come ad un ottetto (o a 8-tuple) di numeri reali. Ogni octonione è una combinazione lineare di unità octonionali 1, e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ e e₇.

Sommare degli octonioni vuol dire sommare i relativi coefficienti, come nei numeri complessi o nei quaternioni. La moltiplicazione lineare degli octonioni è definita dalla matrice di moltiplicazione delle unità degli octonioni, la tabella è sotto elencata.

·	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
1	1	e1	e2	e3	e4	e5	e6	e7
e1	e1	−1	e4	e7	−e2	e6	−e5	−e3
e2	e2	−e4	−1	e5	e1	−e3	e7	−e6
e3	e3	−e7	−e5	−1	e6	e2	−e4	e1
e4	e4	e2	−e1	−e6	−1	e7	e3	−e5
e5	e5	−e6	e3	−e2	−e7	−1	e1	e4
e6	e6	e5	−e7	e4	−e3	−e1	−1	e2
e7	e7	e3	e6	−e1	e5	−e4	−e2	−1

Proprietà

I octonions sono l'unica alternativa ma algebra limitato-dimensionale non associativa di divisione sopra i reals. Le uniche algebre associative limitato-dimensionali di divisione sopra i reals sono i numeri reali, i numeri complessi ed i quaternions. Il gruppo degli automorfismi (simmetria) dei octonions è denominato G2. Veda inoltre

Gli octonioni sono l'unica algebra a dimensione-finita non-associativa definibile con i numeri reali. Le uniche algebre a dimesione finita associative sono quelle prodotte dai numeri reali, dai numeri complessi e dai quaternioni.

Il grouppo degli automorfismi (simmetrici) degli octonioni è chiamato G2.

Vedi anche

• Sedenioni
• Numeri ipercomplessi
• Costruzione di Cayley-Dickson
• PSL(2,7)

• The Octonions - un articolo di John C. Baez
• Octonion Fractals - frattali generati usando gli octonioni