Sequenza di Sheffer
In
matematica, una
sequenza polinomiale, cioè, una sequenza
{
pn(
x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } di polinomi nei quali
l'indice di ogni polinomio uguaglia il suo grado, si dice
sequenza polinomiale di Sheffer,
o in breve
sequenza di Sheffer,
se l'operatore lineare
Q che agisce sui polinomi in
x definito da
è shift-equivariante. Dicendo che
Q è shift-equivariante intendiamo dire che
se consideriamo
a reale qualsiasi e l'operatore di traslazione (
shift)
di funzioni di variabile reale
g(
x)
Ta definito da
Tag(
x) :=
g(
x +
a),
allora
(QTag)(
x) =
(Qg)(
x +
a),
cioè ,
Q commuta con ogni operatore di traslazione.
Seguendo F. Hildebrandt, chiamiamo operatore delta
ogni operatore lineare sui polinomi che riduce di 1 il loro grado ed
è shift-equivariante. Il precedente operatore Q si può quindi chiamare
operatore delta caratteristico della sequenza di Sheffer.
L'insieme di tutte le sequenze di Sheffer costituisce un gruppo
per l'operazione di composizione umbrale delle sequenze polinomiali, definita come segue. Consideriamo due sequenze polinomiali qualsiasi { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } e { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... }, con
Si dice
composizione umbrale di
p e
q e si scrive
p o
q la sequenza polinomiale il cui
n-esimo termine è
Due importanti sottogruppi del gruppo delle sequenze di Sheffer sono il gruppo delle
sequenze di Appell, che sono le sequenze di Sheffer il cui operatore delta è la
differenziazione e il gruppo di
sequenze di tipo binomiale, che sono le sequenze polinomiali che soddisfano le identitÃ
Una sequenza di Sheffer {
pn(
x): n = 0, 1, 2, ... }
è di tipo binomiale se e solo se valgono le uguaglianze
Il gruppo delle sequenze di Appell è abeliano, il gruppo delle
sequenze di tipo binomiale non lo è. Il gruppo delle sequenze di Appell è un
sottogruppo normale del gruppo delle sequenze di Sheffer, il gruppo delle sequenze di tipo binomiale non è normale.
Il gruppo delle sequenze di Sheffer risulta essere un prodotto semidiretto del gruppo di sequenze di Appell e del gruppo delle sequenze di tipo binomiale. Segue che ogni laterale (
coset) del gruppo delle sequenze di Appell contiene esattamente una sequenza di tipo binomiale. Due sequenze di Sheffer sono nello stesso laterale se e solo se posseggono lo stesso operatore delta caratteristico.
Se sn(x) è una sequenza di Sheffer e pn(x)
è una sequenza di tipo binomiale che condivide lo stesso operatore delta caratteristico, allora
Talvolta si definisce
sequenza di Sheffer una sequenza polinomiale che
soddisfa queste uguaglianze per qualche sequenza di tipo binomiale.
Se in particolare {
sn(
x) } è una sequenza di Appell, allora
La sequenza dei
polinomi di Hermite, la sequenza dei polinomi di Bernoulli, e la sequenza
{
xn :
n = 0, 1, 2, ... } sono esempi di sequenze di Appell.
[ A questo punto si dovrebbero aggiungere numerosi esempi e, forse, molte applicazioni.]
Vedi anche:
Bibliografia
- Rota, G.-C; Kahaner, D.; Odlyzko, A. (1973): "Finite operatore Calculus," Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Ristampato nel libro dello stesso titolo edito da Academic Press, New York, (1975). Lavoro nel quale sono apparsi i risultati di base tra quelli enunciati in questo articolo.
