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Sequenza di tipo binomiale

In matematica, una sequenza polinomiale, cioč una successione di polinomi indiciati da { 0, 1, 2, 3, ... } dove l'indice di ogni polinomio coincide con il suo grado, si dice sequenza polinomiale di tipo binomiale, o pił in breve sequenza di tipo binomiale, se soddisfa la successione di identitĆ 

Esistono molte di tali sequenze e si dimostra che il loro insieme forma un gruppo di Lie per l'operazione di composizione umbrale che vedremo in seguito. Ogni sequenza di tipo binomiale č una sequenza di Sheffer, ma la maggior parte delle sequenze di Sheffer non sono di tipo binomiale.

Table of contents
1 Esempi
2 Una semplice caratterizzazione
3 Operatori delta
4 Composizione umbrale di sequenza polinomiali
5 Caratterizzazione mediante funzioni generatrici
6 Cumulanti e momenti
7 Applicazioni

Esempi

il prodotto č sottinteso che sia uguale a 1 nel caso n = 0, poichč in quel caso č un prodotto vuoto. Questa sequenza polinomiale č di tipo binomiale.

costituiscono una sequenza polinomiale di tipo binomiale.

costituiscono una sequenza polinomiale di tipo binomiale.

dove S(n, k) č il numero di partizioni dell'insieme di n elementi in k sottoinsiemi disgiunti non vuoti, costituiscono una sequenza polinomiale di tipo binomiale. Eric Temple Bell chiama queste funzioni "esponenziali polinomiali" e questo termine ricorre a volte anche in letteratura. I coefficienti S(n, k ) sono i "numeri di Stirling del secondo ordine". Questa sequenza ha una curiosa connessione con la distribuzione di Poisson: se X č una variabile casuale con una distribuzione di Poisson con valore atteso λ allora E(Xn) = pn(λ). In particolare, quando λ = 1, vediamo che il momento n-esimo della distribuzione di Poisson con valore atteso 1 č il numero di partizioni di un insieme di n elementi, chiamato l' n-esimo numero di Bell. Questo fatto sull' n-esimo momento di quella particolare distribuzione di Poisson č la "formula di Dobinski".

Una semplice caratterizzazione

Si puĆ² dimostrare che una sequenza polinomiale { pn(x) : n = 0, 1, 2, ... } č di tipo binomiale se e solo se la trasformazione lineare dello spazio di polinomi in x che č definita dalla

č shift-equivariante e p0(x) = 1 per ogni x e pn(0) = 0 per n > 0. (Dire che questo operatore č shift-equivariante equivale a dire che la sequenza polinomiale č una
sequenza di Sheffer; l'insieme delle sequenze di tipo binomiale č propriamente incluso nell'insieme delle sequenze di Sheffer.)

Operatori delta

La precedente trasformazione lineare č chiaramente un operatore delta, cioč, una trasformazione lineare shift-equivariante sullo spazio dei polinomi in x che riduce i gradi dei polinomi di 1. Il pił ovvio esempio di operatori delta sono gli operatori differenza e differenziazione. Si puĆ² dimostrare che ogni operatore delta puĆ² essere scritto come una serie di potenze della forma

dove D č la differenziazione (si noti che il limite inferiore della somma č 1). Ogni operatore delta Q possiede un'unica sequenza di "polinomi di base", cioč, una sequenza polinomiale che soddisfa le richieste

ƈ stato dimostrato nel
1973 da Rota, Kahaner e Odlyzko, che una sequenza polinomiale č di tipo binomiale se e solo se č la sequenza dei polinomi di base per qualche operatore delta. PerciĆ² la prima formula del corrente paragrafo fornisce una ricetta per generare tutte le sequenze polinomiali di tipo binomiale che si vogliono: si tratta di basta scegliere i cn.

Composizione umbrale di sequenza polinomiali

L'insieme di tutte le sequenze polinomiali di tipo binomiale costituisce un gruppo per l'operazione detta "composizione umbrale" di sequenze polinomiali che ora definiamo. Supponiamo che { pn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } e { qn(x) : n = 0, 1, 2, 3, ... } siano sequenze polinomiali, e che

Per composizione umbrale p o q si definisce la sequenza polinomiale il cui nesimo termine č
Con l'operatore delta definito da una sequenza di potenze in D come sopra, la biiezione naturale fra gli operatori delta e sequenze polinomiali di tipo binomiale, definita sopra, č un isomorfismo di gruppo, nel quale l'operazione gruppale tra serie di potenze č (forse sorprendentemente) la composizione formale di serie formali di potenze.

Caratterizzazione mediante funzioni generatrici

Le sequenze polinomiali di tipo binomiale sono precisamente quelle le cui funzioni generatrici sono serie formali di potenze (non necessariamente convergenti) della forma

dove f(t) č una serie formale di potenze il cui termine costante č zero e il cui termine di primo grado č non nullo. Questo si puĆ² dimostrare usando la versione per le serie di potenze della formula di Faà di Bruno; cioč la

L'operatore delta della serie č f−1(D) e quindi

Cumulanti e momenti

la successione κn dei coefficienti di termini di primo grado in una sequenza polinomiale di tipo binomiale puĆ² essere chiamata successione dei cumulanti della sequenza polinomiale. Si puĆ² quindi dire che ogni sequenza polinomiale di tipo binomiale č interamente determinata dai suoi cumulanti, in sintonia di quanto presentato nell'articolo intitolato cumulante. In questo modo abbiamo

nesimo cumulante

e

nesimo momento.

Questi conviene siano chiamati "cumulanti formali" e "momenti formali", per distinguerli dai cumulanti e dai momenti di una
distribuzione di probabilitĆ .

Sia

la funzione generatrice dei cumulanti (formalie). Allora

č l' operatore delta associato alla sequenza polinomiale, cioč, abbiamo

Applicazioni

Il concetto di sequenza polinomiale di tipo binomiale ha applicazioni in combinatorica, probabilitĆ , statistica, e in una varietĆ  di altri campi.

Bibliografia

  • Rota, G.-C; Kahaner, D.; Odlyzko, A (1973): "Finite Operator Calculus," Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Ristampato nel libro dello stesso titolo edito da Academic Press, New York, (1975).

  • Mullin, R.; Rota, G.-C. (1970) "On the Foundations of Combinatorial Theory III: Theory of Binomial Enumeration," in Graph Theory and Its Applications, editor Bernard Harris, Academic Press, New York. Come suggerisce lo stesso titolo, questo testo riguarda esplicitamente le applicazioni alla enumerazione combinatoria.


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