Teorema della probabilità totale

Il teorema della probabilità totale dice che la probabilità di due qualsiasi eventi A e B � pari alla somma delle singole probabilità P(A) e P(B) meno la probabilità della loro intersezione P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Qualora l'intersezione A ∩ B formi l'insieme nullo Ø, allora la probabilità dell'intersezione � pari alla somma delle singole probabilità (in quanto per assioma, la probabilità dell'insime vuoto P(Ø)≡0 ).

Nel caso di tre eventi A, B e C il teorema afferma che

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A ∩ B) - P(A ∩ C) - P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

Dimostrazione

 _________B____
/              \\_____A______
|              /\\           \\     A ∪ B = A ∪ ( B - A ∩ B )
|             /  \\           |    B = (A∩B) ∪ ( B - A ∩ B )
|            /    \\          |                          
|   B-A∩B   | A∩B \\         |
|            \\_____|________/
|                 / 
 \\_______________/

Trattandosi in entrambe le equazioni di insieme disgiunti può essere applicato l'assioma percui

P(A ∪ B) = P(A) + P( B - A ∩ B )

P(B) = P(A∩B) + P( B - A ∩ B )

facendo la sottrazione dei termini delle equazioni si ottiene

P(A ∪ B) - P(B) = P(A) + P( B - A ∩ B ) - P(A∩B) - P( B - A ∩ B )

P(A ∪ B) - P(B) = P(A) - P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) c.v.d.

Vedi anche: