Variabile casuale Beta

La variabile casuale Beta è una v.c. continua, che deve il suo nome alla funzione Beta presente nella funzione di densità:

f(x) = β(p,q)^-1 x^p-1 (1-x)^q-1 , ove 0 <x <1 , p>0 e q>0

ovvero

f(x) = x^p-1 (1-x)^q-1 / [₀∫¹x^p-1(1-x)^q-1dx]

;media: μ = p/(p+q) ;varianza: σ² = pq / [(p+q)²(p+q+1)] ;simmetria: β₁ = [4(q-p)²(q+p+1)] / [pq(p+q+2)²] , pertanto simmetrica solo se p=q ;curtosi: β₂ = 3 +[6(q-p)²(q+p+1)-6(p+q+2)pq] / [qp(p+q+2)(p+q+3)]

Casi particolari: ;p=q=1: in tal caso si tratta di una v.c. rettangolare con a=0 e b=1

In termini più generali, la v.c. Beta viene definita con

f(x) = K (x-a)^p-1(b-x)^q-1, dove K è t.c. _{0∫¹f(x)dx=1}

In tal caso: ;media: μ = (aq+bp)/(p+q) ;varianza: σ² = pq(b-a)² / [(p+q)²(p+q+1)] Un caso particolare è quando p=q=1, in tal caso si tratta di una v.c. rettangolare con i parametri a e b

La v.c. Beta viene usata nella teoria della stima nonché per descrivere le durate di progetti.

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Vedi anche:

• statistica, probabilità
• v.c. rettangolare, v.c. Geometrica, v.c. Binomiale

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