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Constanti trigonometriche esatte

Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate qualche volta, principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3°=60π sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, Addizione/sottrazione e i valori per 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Table of contents
1 Tavola delle espressioni
2 Note

Tavola delle espressioni

''I valori non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] sono banalmente ricavati osservando la circonferenza di raggio 1 e gli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentali

3° - poligono con 60 lati

sin(3°) = [2√(5+√5)(1-√3)+√2(√5-1)(√3+1)]/16

cos(3°) = [2√(5+√5)(1+√3)+√2(√5-1)(√3-1)]/16

tan(3°) = [(2-√3)(3+√5)-2](2-√(2(5-√5)))/4

6° - poligono con 30 lati

sin(6°) = [√(6(5-√5))-(√5+1)]/8
cos(6°) = [√(2(5-√5))+√3(√5-1)]/8
tan(6°) = [√(5-2√5)(√5 + 1)+√3(1-√5)]/2

9° - poligono con 20 lati

sin(9°) = [-2√(5-√5)+√2(√5 + 1)]/8
cos(9°) = [+2√(5-√5)+√2(√5 + 1)]/8
tan(9°) = -√(5-2√5)(2+√5)+(√5 + 1)

12° - poligono con 15 lati

tan(12°) = [√(5-2√5)(2+√5)+(√5+1)]/2

15° - poligono con 12 lati

18° - poligono con 10 lati

21° 9° + 12°

sin(21°) = [2√(5-√5)(√3+1)-√2(√3-1)(1+√5)]/16

cos(21°) = [2√(5-√5)(√3-1)+√2(√3+1)(1+√5)]/16

tan(21°) = [√(5-2√5)(1+2√3-√5)+(2+√3)(√5-3)+2]/2

22.5° - Ottagono

24° 12° + 12°

sin(24°) = √(2(5+√5))(1-√5)+2√3(1+√5))/16
cos(24°) = √(6(5+√5))(√5-1)+2(1+√5))/16
tan(24°) = (√(10+2√5)-2√3)(3+√5)/4
cotan(24°) = (√(10+2√5)+2√3)(√5-1)/4

27° 12° + 15°

sin(27°) = ((2√(5+√5)+√2(1-√5))/8
cos(27°) = ((2√(5+√5)+√2(√5-1))/8
tan(27°) = -√(5-2(√5))+(√5-1)

30° - Esagono

33° 15° + 18°

sin(33°) = (2√(5+√5)(-1+√3)+√2(√5-1)(1+√3))/16

cos(33°) = (2√(5+√5)(+1+√3)+√2(√5-1)(1-√3))/16

tan(33°) = (√(5(5-2√5))(-15+10√3-7√5+4√15)+5((-2+√3)(3+√5)+2))/10

36° - Pentagono

39° 18°+ 21°

sin(39°) = (2√(5-√5)(1-√3)+√2(+1+√3)(1+√5))/16

cos(39°) = (2√(5-√5)(1+√3)+√2(-1+√3)(1+√5))/16

tan(39°) = (√(2(5+√5))-2)((2-√3)(-3+√5)+2)/4

42° 21° + 21°

sin(42°) = (√(6(5-√5))(1+√5)+2(1-√5))/16
cos(42°) = (√(2(5-√5))(1+√5)+2√3(-1+√5))/16
tan(42°) = (-√(5-2√5)(3+√5)+√3(1+√5))/2

45° - Quadrato

Note

Uso delle costanti

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data da:

V = 5e3cos(36)/tan2(36)

Usando

cos(36°) = (√5 + 1)/4
tan(36°) = √(5-2√5)

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

V = e3(15 + 7√5)/4.

Dimostrazioni con i triangoli

La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli.

Qui i triangoli retti composti da sezioni simmetriche di poligoni regolari sono utilizzati per calcolare i rapporti trigonometrici fondamentali. Ogni triangolo retto rappresenta 3 punti in un poligono regolare: un vertice, un limite centrale che contiene questo vertice, e il poligono centrale. Un N-agono può essere diviso in 2*N triangoli retti con angoli di {180/N, 90-180/N, 90} gradi, dove N = 3, 4, 5, ...

La costruibilità di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati è la base, e le bisetrici permettono anche ai multipli di due di essere ricavati.

Espressioni non singole

La semplificazione di espressioni di radicali annidati non è banale. Queste espressioni non possono tutte essere ridotte completamente.

Esempio:

Non è così evidente che questa semplificazione sia equivalente, e in generale i radicali annidati non possono essere ridotti.

In generale queste sono riducibili:
, if (a2-4*b2*c) è un quadrato perfetto

Vedi anche Links esterni

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