Matrice diagonale

In matematica, una matrice diagonale è una matrice quadrata nella quale solamente le entrate nella diagonale principale possono essere diverse da 0. Si noti che non si impone che le entrate diagonali siano diverse da zero: la matrice quadrata nulla può considerarsi diagonale. Per esempio, sono diagonali le seguenti matrici:

Più in generale la matrice di aspetto n × n D = (d_i,j) è diagonale se:

Tutte le matrici identità I_n e tutte le matrici costanti sono diagonali.

Ogni matrice diagonale è anche una matrice simmetrica e una matrice triangolare; se le sue entrate appartengono al campo R o C, essa è anche una matrice normale.

Una matrice diagonale con tutte le entrate sulla diagonale principale uguali è una matrice scalare, cioè, un multiplo scalare λI della matrice identità I. L'applicazione di tale matrice su un vettore ha come effetto la sua moltiplicazione scalare per λ. Le matrici scalari sono il centro dell'algebra di matrici: in altre parole le matrici scalari di aspetto n × n sono precisamente le matrici che commutano con tutte le altre matrici dello stesso aspetto.

Table of contents

1 Operazioni di matrici 2 Autovettori, autovalori, determinante 3 Applicazioni

Operazioni di matrici

Le operazioni di addizione e di moltiplicazione sono particolarmente semplici per le matrici diagonali. Scriviamo diag(a₁,...,a_n) per la matrice diagonale avente come sequenza delle dove le entrate diagonali a partire dall'angolo superiore sinistra sono a₁,...,a_n. Allora, per l' addizione, abbiamo

diag(a₁,...,a_n) + diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁+b₁,...,a_n+b_n)

e per la moltiplicazione,

diag(a₁,...,a_n) · diag(b₁,...,b_n) = diag(a₁b₁,...,a_nb_n).

La matrice diagonale diag(a₁,...,a_n) è invertibile se e solo se le sue entrate a₁,...,a_n sono tutte non nulle. In questo caso, abbiamo

diag(a₁,...,a_n)^-1 = diag(a₁^-1,...,a_n^-1).

In particolare, le matrici diagonali formano un sottoanello delle matrici dell'anello delle matrici n × n.

Moltiplicare la matrice A da sinistra per diag(a₁,...,a_n) equivale, per ogni i a moltiplicare la i-esima riga di A per a_i per ogni i; moltiplicare la matrice A da destra con diag(a₁,...,a_n) equivale a moltiplicare la i-esima colonna di A per a_i per ogni i.

Le matrici diagonali n × n quindi rappresentano trasformazioni che sugli assi di riferimento hanno l'effetto delle omotetie. La presenza di uno zero sulla diagonale principale equivale alla eliminazione della corrispondente dimensione. Consideriamo ad es. le seguenti matrici

La prima esprime la riflessione rispetto al piano Oxz. La seconda esprime la proiezione sul piano Oxy seguita dalla riflessione rispetto all'asse Ox La terza la proiezione ortogonale dello spazio sull'asse Oy seguita dalla riflessione di quest'ultimo e dalla sua dilatazione per un fattore 3.

Autovettori, autovalori, determinante

Gli autovalori della diag(a₁, ..., a_n) sono a₁, ..., a_n. I vettori unità e₁, ..., e_n formano una base di autovettori. Il determinante della diag(a₁, ..., a_n) è il prodotto a₁...a_n.

Applicazioni

Le matrici diagonali si incontrano in molte aree dell'algebra lineare. Data la semplicità operativa delle matrici diagonali, è sempre consigliabile ricondurre una matrice data ad una matrice diagonale e rappresentare un applicazione lineare mediante una matrice diagonale.

In effetti, una matrice data n × n è simile ad una matrice diagonale se e solo se possiede n autovettori linearmente independenti. Questa è una matrice diagonalizzabile.

Sul campo dei reali o su quello dei complessi si può affermare di più: ogni matrice normale è unitariamente simile alla matrice diagonale (per il teorema spettrale), e ogni matrice è unitariamente equivalente ad una matrice diagonale con entrate non negative (per la decomposizione in valori singolari).

Vedi anche

• Glossario sulle matrici

---

|