Polinomi di Chebyshev
I
polinomi di Chebyshev sono le componenti di una
successione polinomiale che inizia con i seguenti polinomi:
Essi traggono il loro nome dal matematico russo Pafnuty Chebyshev (
Пафнутий Чебышёв) che li ha studiati come soluzioni polinomiali della seguente equazione differenziale di Chebyshev:
I polinomi che esaminiamo sono detti anche
polinomi di Chebyshev di prima specie, per distinguerli dai polinomi di un'altra successione polinomiale detti polinomi di Chebyshev di seconda specie.
Evidentemente i polinomi di Chebyshev hanno parità definita: i polinomi di grado pari sono funzioni pari
della variabile x, quelli di grado dispari sono funzioni dispari; questo si accorda con l'invarianza dell'equazione differenziale rispetto alla trasformazione che scambia x con −x.
Una possibile definizione di questi polinomi è la seguente:
- per .
Che cos(
nx) sia un polinomio di grado
n in cos(
x)
può essere visto osservando che cos(
nx) è la parte reale di un membro della
formula di De Moivre, e la parte reale dell'altro membro è un polinomio in cos(
x) e sin(
x), dove tutte le potenze del sin(
x) sono pari e rimpiazzabili tramite l'identità sin²(
x) = 1 - cos²(
x).
Il polinomo Tn ha esattamente n radici semplici facenti parte dell'intervallo [−1, 1] chiamate radici di Chebyshev.
Alternativamente i polinomi di Chebyshev possono essere definiti tramite la relazione di ricorrenza
-
-
Essi costituiscono una successione di polinomi ortogonali rispetto alla funzione peso
sull'intervallo [−1,1], cioè, abbiamo
Questo succede perchè (ponendo
x = cos θ)
Come per le altre successioni di polinomi ortogonali, anche i polinomi di Chebyshev possono essere definiti a partire da funzioni generatrici. Un esempio di una tale funzione generatrice è
I polinomi di Chebyshev sono ampiamente utilizzati nell'area della approssimazione numerica.
Vedi anche
- Elenco di articoli di trigonometria
- Nodi di Chebyshev
- Polinomi di Legendre
- Polinomi di Hermite
