Variabile casuale Poissoniana

La variabile casuale Poissoniana è una variabile casuale discreta, detta pure degli eventi rari.

Table of contents

1 Metodologia 2 Storia 3 Vedi anche: 4 Tavole dei valori della funzione di probabilità 4.....1 + 4.....2 + 4.....3 + 4.....4 + 4.....5 + 4.....6 + 4.....7 + 4.....8 + 4.....9 +

Metodologia

La v.c. Poissoniana è definita con la funzione di probabilità

P(k) = e^-λ λ^k/k!

dove

• k è un numero interno non negativo (k=0,1,2,3,....) e
• λ è un qualsiasi valore positivo (λ>0)

La funzione generatrice dei momenti è pertanto:

g(t) = e^{λ(e^t-1)}

Il valore atteso e la varianza coincidono

μ = σ² = λ

La Poissoniana è detta pure legge degli eventi rari, in quanto può essere applicata al posto della variabile casuale Binomiale B(p;n) quando la probabilità p è molto bassa e contemporaneamente n è molto alta, ovvero quando un evento è raro, ma sono molti coloro che sono esposti al rischi. In tal caso λ = np.

Quando λ è molto grande (orientativamente λ > 10), allora la Poissoniana può essere approssimata con una variabile casuale Normale con valore atteso e varianza pari a λ: N( λ ; λ).

Storia

La Poissoniana porta il nome di Siméon-Denis Poisson in quanto questo la utilizzò nel 1837 (tre anni prima di morire) in una ricerca sulle statistiche giudiziarie, derivandola come distribuzione limite della distribuzione di Pascal ( P(x)=p(1-p)^x ) e della distribuzione binomiale.

In realtà la poissoniana come approssimazione della binomiale era già stata introdotta nel 1718 da Abraham de Moivre in Doctrine des chances.

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Vedi anche:

• Siméon-Denis Poisson e Abraham de Moivre
• variabile casuale Normale
• variabile casuale Binomiale
• variabile casuale Esponenziale Negativa
• variabile casuale Geometrica (o di Pascal)
• variabile casuale Binomiale Negativa (anch'essa, come la Poissoniana, usata nel caso di eventi rari)
• variabile casuale discreta
• variabile casuale
• probabilità
• statistica

Tavole dei valori della funzione di probabilità

λ = 0.1, 0.2, ... 1.0

+
=+
=+
|  k \\ λ|    0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7   0.8   0.9   1.0  |
+
=+
=+
|  0    |  .9048 .8187 .7408 .6703 .6065 .5488 .4966 .4493 .4066 .3679  |
|  1    |  .0905 .1637 .2222 .2681 .3033 .3293 .3476 .3595 .3659 .3679  |
|  2    |  .0045 .0164 .0333 .0536 .0758 .0988 .1217 .1438 .1647 .1839  |
|  3    |  .0002 .0011 .0033 .0072 .0126 .0198 .0284 .0383 .0494 .0613  |
|  4    |        .0001 .0003 .0007 .0016 .0030 .0050 .0077 .0111 .0153  |
|  5    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0012 .0020 .0031  |
|  6    |                                      .0001 .0002 .0003 .0005  |
|  7    |                                                        .0001  |
+
=+
=+

λ = 1.2, 1.4, ... 3.0

+
=+
=+
|  k \\ λ|    1.2   1.4   1.6   1.8   2.0   2.2   2.4   2.6   2.8   3.0  |
+
=+
=+
|  0    |  .3012 .2466 .2019 .1653 .1353 .1108 .0907 .0743 .0608 .0498  |
|  1    |  .3614 .3452 .3230 .2975 .2707 .2438 .2177 .1931 .1703 .1494  |
|  2    |  .2169 .2417 .2584 .2678 .2707 .2681 .2613 .2510 .2384 .2240  |
|  3    |  .0867 .1128 .1378 .1607 .1804 .1966 .2090 .2176 .2225 .2240  |
|  4    |  .0260 .0395 .0551 .0723 .0902 .1082 .1254 .1414 .1557 .1680  |
|  5    |  .0062 .0111 .0176 .0260 .0361 .0476 .0602 .0735 .0872 .1008  |
|  6    |  .0012 .0026 .0047 .0078 .0120 .0174 .0241 .0319 .0407 .0504  |
|  7    |  .0002 .0005 .0011 .0020 .0034 .0055 .0083 .0118 .0163 .0216  |
|  8    |        .0001 .0002 .0005 .0009 .0015 .0025 .0038 .0057 .0081  |
|  9    |                    .0001 .0002 .0004 .0007 .0011 .0018 .0027  |
| 10    |                                .0001 .0002 .0003 .0005 .0008  |
| 11    |                                            .0001 .0001 .0002  |
| 12    |                                                        .0001  |
+
=+
=+

λ = 3.5, 4.0, ... 8.0

+
=+
=+
|  k \\ λ|    3.5   4.0   4.5   5.0   5.5   6.0   6.5   7.0   7.5   8.0  |
+
=+
=+
|  0    |  .0302 .0183 .0111 .0067 .0041 .0025 .0015 .0009 .0006 .0003  |
|  1    |  .1057 .0733 .0500 .0337 .0225 .0149 .0098 .0064 .0041 .0027  |
|  2    |  .1850 .1465 .1125 .0842 .0618 .0446 .0318 .0223 .0156 .0107  |
|  3    |  .2158 .1954 .1687 .1404 .1133 .0892 .0688 .0521 .0389 .0286  |
|  4    |  .1888 .1954 .1898 .1755 .1558 .1339 .1118 .0912 .0729 .0573  |
|  5    |  .1322 .1563 .1708 .1755 .1714 .1606 .1454 .1277 .1094 .0916  |
|  6    |  .0771 .1042 .1281 .1462 .1571 .1606 .1575 .1490 .1367 .1221  |
|  7    |  .0385 .0595 .0824 .1044 .1234 .1377 .1462 .1490 .1465 .1396  |
|  8    |  .0169 .0298 .0463 .0653 .0849 .1033 .1188 .1304 .1373 .1396  |
|  9    |  .0066 .0132 .0232 .0363 .0519 .0688 .0858 .1014 .1144 .1241  |
| 10    |  .0023 .0053 .0104 .0181 .0285 .0413 .0558 .0710 .0858 .0993  |
| 11    |  .0007 .0019 .0043 .0082 .0143 .0225 .0330 .0452 .0585 .0722  |
| 12    |  .0002 .0006 .0016 .0034 .0065 .0113 .0179 .0263 .0366 .0481  |
| 13    |  .0001 .0002 .0006 .0013 .0028 .0052 .0089 .0142 .0211 .0296  |
| 14    |        .0001 .0002 .0005 .0011 .0022 .0041 .0071 .0113 .0169  |
| 15    |              .0001 .0002 .0004 .0009 .0018 .0033 .0057 .0090  |
| 16    |                          .0001 .0003 .0007 .0014 .0026 .0045  |
| 17    |                                .0001 .0003 .0006 .0012 .0021  |
| 18    |                                      .0001 .0002 .0005 .0009  |
| 19    |                                            .0001 .0002 .0004  |
| 20    |                                                  .0001 .0002  |
| 21    |                                                        .0001  |
+
=+
=+

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